Liste des exposés

Titres et résumés

Yvonne Alama Bronsard (Sorbonne Université)

Titre. Résolution numérique d'équations dispersives à faible régularité.

Résumé. On considérera dans cet exposé l'approximation d'équations dispersives pour des conditions initiales peu régulières, déterministes ou aléatoires.  On introduira un cadre général qui permet d'approcher une classe d'équations d'évolution non-linéaires  en s'inspirant du formalisme d'arbres décorés, utilisé pour les EDPS singulières et les structures de régularité.  Finalement, dans le cas de l'équation de Schrödinger non-linéaire, nous présenterons un nouveau schéma numérique à faible régularité ayant de bonnes propriétés de conservation de la densité et de l'énergie au niveau discret.

Rana Badreddine (Université Paris-Saclay) 

Titre. The Calogero-Sutherland derivative nonlinear Schrödinger equation.

Résumé. We consider a type of nonlocal nonlinear Schrödinger equation with periodic boundary condition, called the Calogero-Sutherland DNLS equation.

Anne-Laure Dalibard (Sorbonne Université)

Titre. Etude d’équations paraboliques non linéaires de type « forward-backward »

Résumé. Cet exposé est consacré à l'étude de l'équation $u u_x - u_{yy}=f$ dans le domaine $(x_0,x_1)\ times (-1,1)$, au voisinage du profil de cisaillement $u(x,y)=y$. Cette équation sert de modèle-jouet pour des équations fluides plus compliquées telles que le système de Prandtl dans un régime avec recirculation.
La difficulté réside dans le changement de signe des solutions. L'équation est donc parabolique dans la région où $u>0$, et parabolique rétrograde dans la région $u<0$. La ligne $u=0$ est une frontière libre et une inconnue du problème.
De manière inattendue, nous démontrons qu’il n’existe pas en général de solution forte du problème, même pour des données arbitrairement régulières.
Ce phénomène est déjà présent au niveau linéaire, et lié à l'existence de profils singuliers pour l'équation homogène linéarisée. En fait, nous établirons que des solutions fortes existent (à la fois pour le système linéarisé et pour le système non linéaire) si et seulement si les données satisfont un nombre fini de conditions d'orthogonalité, dont le but est d'éviter la présence de profils singuliers dans la solution.
Une difficulté majeure réside dans la gestion de ces conditions d'orthogonalité pendant le schéma de point fixe non-linéaire. En particulier, nous sommes amenés à prouver leur stabilité par rapport au flux de base sous-jacent.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Frédéric Marbach et Jean Rax.

Luigi De Rosa (University of Basel)

Titre. Dissipation regularity for irregular fluids motion.

Résumé. It is well known that irregular fluids flows exhibit anomalous dissipation phenomena, a feature that has deep physical foundations. In several examples of main interest such dissipation is represented by a Radon measure. Assuming some integrability on the solution, in this talk I will describe how to derive a priori regularity results for the dissipation measure with respect to a reference Hausdorff. This naturally connects to intermittency, lower dimensional dissipations, energy conservation and singularity formation. The approach is rather geometrical and quite unifying, i.e. it directly applies to general conservation laws, providing sharp results in several situations. This builds on a recent work obtained in collaboration with Marco Inversi and Theodore D. Drivas.

Lucas Ertzbischoff (École polytechnique)

Titre. On thick spray equations

Résumé. We consider a coupled system between kinetic and fluid equations, describing a cloud of particles immersed within a gas. In the "thick spray" regime, the volume fraction for the particles is not negligible compared to that of the fluid: this raises many difficulties for the study of such system, which seems to present several losses ofnderivatives. In particular, and contrary to some other fluid-kinetic couplings, its mathematical study has almost remained absent.

I will review some recent progress on thick spray equations, and show that one can actually build a Cauchy theory in Sobolev regularity (for a compressible viscous fluid) when the initial data satisfies a Penrose type stability condition (being in fact necessary and sufficient for well-posedness).

This is based on a joint work with Aymeric Baradat (CNRS, Université Lyon 1) and Daniel Han-Kwan (CNRS, Nantes Université).

David Gérard-Varet (Université Paris Cité)

Titre. Phénomène de mélange en orientation pour des suspensions actives.

Résumé. Nous décrirons un modèle cinétique popularisé par D. Saintillan et M. Shelley, qui décrit la dynamique de suspensions actives dans des fluides visqueux. Nous montrerons comment les propriétés de stabilité de ce modèle sont liées à un phénomène de mélange, similaire à l'amortissement Landau. L'originalité  de l'étude vient de ce que la variable vitesse usuelle des modèles cinétiques est remplacée par une variable d'orientation sur la sphère. Cela crée des différences qualitatives et des difficultés mathématiques que nous tâcherons de présenter. L'exposé s'appuie sur un travail en collaboration avec M. Coti Zelati et H. Dietert.

Laura Kanzler (Université Paris-Dauphine)

Titre. Boltzmann mean-field game model for knowledge growth.

Résumé. Subject of this talk will be a Boltzmann mean field game (BMFG) model for knowledge growth, originally introduced by the economists Lucas and Moll [‘14]. In BMFG the evolution of the agent density with respect to their knowledge level is described by a Boltzmann-type equation. Agents increase their knowledge through binary interactions with others; their increase is modulated by the interaction and learning rate: Agents with similar knowledge learn more in encounters, while agents with very different levels benefit less from learning interactions. The optimal fraction of time spent on learning is calculated by a Bellman equation, resulting in a highly nonlinear forward-backward in
time PDE system. The structure of solutions to the Boltzmann and Bellman equation depends strongly on the aforesaid
learning rate in the Boltzmann collision kernel as well as the utility function in the Bellman equation,
which relates the individual’s productivity to the expected gain in society and encodes risk aversion in the society. We explain the monotonicity behavior of solutions for different learning and utility functions, show existence of solutions and investigate how they impact the existence of so-called balanced growth path solutions, that relate to exponential growth of the overall economy. The talk will be concluded by computational experiments to illustrate our analytical results.

Sylvie Monniaux (Université Aix-Marseille)

Titre. Le système de Keller-Segel Navier-Stokes dans des domaines non réguliers.

Résumé. On s’intéresse au système de Keller-Segel Navier-Stokes qui décrit une population de cellules soumises à un attractant chimique baignant dans un fluide en dimension 3, le tout dans un domaine lipschitzien. Les variables du système sont la densité de cellules, la concentration de l’attractant chimique et la vitesse du fluide. On peut déterminer les espaces critiques pour chacune de ces variables et on prouve l’existence de solutions dans ces espaces critiques. Les méthodes employées font appel à la régularité maximale à poids ainsi qu’aux résultats récents sur le système de Dirichlet-Stokes dans des domaines lipschitziens.

Marjolaine Puel (Cergy Paris University)

Titre. Diffusion fractionnaire pour l’équation de Fokker Planck, une méthode spectrale.

Résumé. Depuis de nombreuses années maintenant, les équations cinétiques décrivant le mouvement des particules sont approchées par des équations macroscopiques plus simples à modéliser. Par exemple, les particules dont la répartition satisfait l’équation de Fokker Planck qui à l’équilibre sont réparties selon une gaussienne en vitesse sont bien décrites, lorsque le temps d’observation est très grand et que la boite d’observation est très grande, par une densité macroscopique qui satisfait l’équation de la chaleur. Dans le cas où l’équilibre en vitesse décroit moins vite qu’une gaussienne, comme une puissance par exemple, la densité macroscopique satisfait cette fois une equation de diffusion fractionnaire (non locale). Ce résultat a été obtenu de diverses façons ces dernières années, nous présenterons dans cet exposé une méthode spectrale qui permet de justifier cette approximation.

Frédéric Rousset (Université Paris-Saclay)

Titre. Interaction of a solitary water wave with a slowly varying bottom

Résumé. In this talk we will discuss how a solution of the water wave system which behaves like a pure solitary wave in the past is influenced by a slowly varying monotonously increasing bottom. The main framework will be the water wave system with strong  surface tension but we shall also use a Whitham type equation to illustrate the ideas.  Joint work with Maria Eugenia Martinez (Lyon) and Claudio Munoz (Santiago)